잠재성장모형으로 종단자료를 분석하기

반복측정 점수에서 변화 궤적을 추정하기

종단자료에는 시간에 따른 변화와 개인 간 차이, 측정 당시의 상황, 측정오차가 담겨 있다. 잠재성장모형은 반복측정값에서 출발 수준과 변화율, 이들의 개인차를 추정한다. 성장모형의 핵심은 평균적인 변화 궤적과 개인별 궤적의 차이를 함께 설명하는 데 있다.

성장 궤적과 공변량을 연결하는 분석 선택

성장곡선모형을 12가지 질문으로 설명한 방법론 논문은 종단연구의 질문을 모형의 구성요소와 연결한다(Curran et al., 2010). 선형모형에서 고정효과는 평균 절편과 평균 기울기를, 무선효과는 개인별 절편과 기울기의 분산을 나타낸다. 주요 추정 틀은 다층모형과 구조방정식모형(SEM)이다. 다층모형에서는 반복측정값이 개인 수준에 내재되어 있고, SEM에서는 반복측정값을 잠재 성장요인의 지표로 사용한다. 두 접근은 여러 조건에서 수치적으로 같은 결과를 낸다. 다층모형은 반복측정–아동–학급처럼 내재 수준을 늘리는 데, SEM은 잠재변수 측정모형으로 측정오차를 분리하는 데 강점이 있다. 필요한 표본 크기는 모형의 복잡성과 설명되는 분산에 따라 달라진다. 논문에는 n = 22인 적용 사례도 소개되었지만, 보통은 적어도 100명에 가까운 표본이 선호된다. 통상 개인당 최소 3회 측정이 필요하되, 부분 결측으로 일부 개인에게 1~2회 관측값만 있는 경우도 다룰 수 있다.

분석은 변화의 함수 형태를 정하는 데서 시작한다. 무선절편만 둔 평평한 궤적에서 선형·이차·삼차곡선으로 확장할 수 있다. piecewise linear modeling으로 2개 이상의 선형 구간을 연결하거나 fully latent curve model에서 기울기 요인 적재량을 자유롭게 추정할 수도 있다. SEM에서는 카이제곱 검정과 RMSEA, CFI, TLI를 활용한다. 내포 모형은 우도비 검정으로, 비내포 모형은 AIC·BIC로 비교한다. 성장곡선모형은 불균등한 측정 간격과 부분 결측, 비정규·이산형 자료를 다룬다. 논문에서 검토한 분석적 연구와 모의실험에서는 성장곡선모형의 검정력이 전통적인 반복측정 분석보다 대체로 높았다. 부분 결측을 다루는 방법으로 직접 최대우도법과 다중대체가 소개되었으며, 다중대체 횟수는 당시 통상 5~10회였다. 두 방법의 결과는 MCAR 또는 MAR 가정을 고려해 해석해야 한다. 관측되지 않은 값 자체가 결측을 결정하는 MNAR에는 별도의 절차가 필요하다.

시간불변 공변량(TIC)은 절편과 기울기의 개인차를 예측하고, 시간가변 공변량(TVC)은 성장요인을 통제한 상태에서 각 시점의 반복측정값을 예측한다. 기초 시점에만 측정한 불안도 TIC으로 사용할 수 있으므로, 변수의 역할은 측정 설계에 따라서도 정해진다. TVC와 시간 또는 TIC의 상호작용은 공변량 효과가 시점이나 개인 특성에 따라 달라지는지를 나타낸다. 예측변수에도 체계적인 변화가 있다면 다변량 성장모형으로 두 구성개념의 절편과 기울기를 함께 추정할 수 있다. latent difference score model과 autoregressive latent trajectory model은 변화와 반복측정 수준의 관계를 다룬다. 관찰된 집단 간 평균뿐 아니라 분산과 다른 모수도 비교하려면 다집단 성장모형을 사용한다. 관찰되지 않은 궤적 집단을 탐색하는 growth mixture models와 latent class growth models 등은 가정이 서로 다르므로 연구가설에 맞춰 선택한다.

시점 특수적 변동을 분리했을 때 달라지는 신뢰도

1차와 2차 잠재성장곡선모형을 비교한 연구는 성장 궤적 추정과 측정 문제를 다룬다(Geiser et al., 2013). 1차 모형(FGMs)은 시점마다 총점 같은 관찰변수 하나를 사용한다. 2차 모형(SGMs)은 시점마다 최소 두 지표로 공통 잠재요인을 구성한 뒤 그 요인의 성장 궤적을 추정한다. Latent State-Trait Theory(LST theory)에 따라 관찰점수는 특성, 상황 및 개인·상황 상호작용을 반영하는 state residual, 측정오차로 구분된다. 단일 지표를 사용하는 FGM에서는 state residual과 무작위 측정오차가 분리되지 않는다. 잔차 전체를 측정오차로 해석하려면 시점 특수적 분산이 0이라고 가정해야 한다. SGM은 시점별 지표의 단일차원성을 바탕으로 특성 변화와 시점 특수적 변동을 표현하며, 측정불변성과 지표의 방법효과도 검토할 수 있다. LST theory에서 신뢰도는 잠재상태가 설명하는 관찰분산의 비율이므로 시점 특수적 변동도 포함한다. 기본 SGM에서는 특성과 특성 변화가 설명하는 비율인 CC와 시점 특수성의 비율인 OS를 더해 신뢰도를 구한다.

모의실험에서는 네 시점 각각에 tau-parallel 지표 두 개를 둔 SGM으로 자료를 생성하고, 절편과 기울기의 공분산을 0으로 설정했다. 시점 특수적 분산이 없는 조건부터 높은 조건까지 각 조건에서 N = 1,000인 Monte Carlo 표본 1,000개를 생성했다. Mplus 6.1의 최대우도법으로 두 모형을 추정했다. FGM에는 두 지표의 산술평균을 투입하고, 참 합성점수 신뢰도는 Spearman-Brown 공식으로 계산했다. SGM은 모든 조건에서 참 신뢰도를 거의 그대로 재현했다. FGM도 시점 특수적 분산이 없는 조건에서는 편향 없는 추정치를 보였다. 시점 특수적 분산이 높은 조건 4에서는 FGM 신뢰도의 상대적 편향이 최대 −64.91 %였다. 조건 5에서 참 신뢰도가 .7805에서 .9412로 증가하는 동안 FGM 추정치는 약 .68에 머물렀고, SGM 추정치는 .7795에서 .9412로 증가했다. 조건 2–4에서는 참 신뢰도가 .8889로 일정했지만 FGM 추정치는 시간에 따라 증가했다. 이 신뢰도 비교는 네 시점에 tau-parallel 지표 두 개를 두고 절편·기울기 공분산을 0으로 설정한 선형성장모형에서 자료를 생성했다는 조건을 고려해 해석해야 한다.

적용에는 멕시코계 미국인 아동이 5학년일 때부터 2년마다 건강과 적응을 조사한 Proyecto: La Familia 자료를 사용했다. 분석 대상은 세 시점의 자료가 모두 있는 어머니 591명과 아버지 323명이었다. 4점 척도인 20문항 CES-D에서 긍정 문항 4개를 제외했다. FGM에는 부정 문항 16개의 평균을, SGM에는 8문항씩 구성한 두 test half를 투입했다. 어머니의 SGM에는 두 번째 test half의 방법요인을 추가했다. 아버지 모형에서는 지표 간 부하량·절편 차이를 허용하되 시점 간에는 같도록 제약했다. SGM의 적합도는 어머니 집단에서 CFI = .997, RMSEA = .03, 아버지 집단에서 CFI = .992, RMSEA = .05였다. 기울기 평균은 어머니 0.004(p = .75), 아버지 .03(p = .05)이었고, 변화율 분산은 두 집단 모두 0.01로 유의하지 않았다. 성장모수는 FGM에서도 같거나 유사했다. FGM 신뢰도는 어머니 .46–.56, 아버지 .49–.63인 데 비해 SGM의 지표별 신뢰도는 각각 .86–.91, .76–.86이었다. 시점 특수적 효과가 잠재상태 분산에서 차지하는 비율은 어머니 40–52 %, 아버지 30–45 %였다.

성장모형의 모수가 다른 하위집단 탐색

SEM Trees는 이론에 따라 설정한 template model을 유지하면서 공변량에 따라 모수가 달라지는 집단을 탐색한다(Brandmaier et al., 2013). 전체 자료에 SEM을 적합시킨 뒤 후보 공변량을 기준으로 나눈 집단별 모형과 비교한다. 선택된 집단 안에서 같은 절차를 반복한다. 자유모수가 m개이고 분할 집단이 k개이면 우도비 검정의 자유도는 (k − 1)m이다. 다중검정을 다루는 방법으로 Bonferroni 보정과 교차검증(CV)이 제시되었다. 5-fold 또는 10-fold CV에서 남겨 둔 자료의 평균 적합도 개선이 0보다 클 때 분할을 받아들인다. 분할점이 많은 변수를 선호하는 선택 편향을 줄이기 위한 2단계 절차도 제안되었다. 변수별 최적 절단점을 찾은 뒤 변수 간 후보를 비교해 선택한다. 범주 수가 2, 4, 10인 무정보 변수를 사용한 모의실험에서 이 절차의 편향은 미미했다. OpenMx 기반 R 패키지 semtree에는 나무 생성·평가·가지치기와 모수 제약, 측정불변성 검정이 구현되어 있다. 관찰변수의 결측치는 FIML로 처리하고, 분류 공변량이 결측인 사례는 해당 내부 노드에 배정한다.

종단자료 적용에는 아동 204명을 약 6세, 7세, 9세, 11세에 측정한 WISC 자료를 사용했다. 언어·동작성 영역의 8개 하위검사 원점수를 0–100의 정답률 척도로 환산해 평균을 구했다. 선형 잠재성장곡선모형의 기울기 부하량은 측정 간격에 맞춰 0, 1, 3, 5로 설정했다. 자유모수는 절편과 기울기의 평균·분산, 측정오차, 절편과 기울기의 상관으로 총 6개였다. 성별, 첫 측정 연령, 부모 교육 수준을 바탕으로 구성한 이분형 분할 후보는 28개였다. Bonferroni 보정의 유의수준은 .05, 최종 노드의 최소 표본 수는 20으로 정했다. 두 방식 모두 부모의 고등학교 졸업 여부에 따른 분할을 찾았고, CV에서는 성별을 선택하지 않았다. 100회의 bootstrap 모두에서 복원추출에 포함되지 않은 사례의 우도는 SEM Tree에서 단일 성장곡선모형보다 높았다. 첫 분할에서는 어머니 교육이 33회, 아버지 교육이 67회 선택되었다. 논문에서는 이를 부모 교육 변수 간의 높은 상관으로 해석했다.

또 다른 적용에서는 1976년과 1980년에 수집한 WAIS–R 자료의 대상자 1,880명 가운데 18세 이상인 1,680명을 분석했다. Information, Comprehension, Similarities, Vocabulary로 언어성 지능의 단일요인모형을 구성하고, 교육·직업·연령집단 등에서 얻은 70개 이분형 후보를 검토했다. 약한 측정불변성을 검토한 분석에서는 교육 기간이 0–7년인 집단과 16년 이상인 집단이 먼저 분리되었다. 나머지 1,335명에서는 직업과 교육 기간에 따른 추가 분할이 나타났다. 불변성 제약을 없앤 분석에서는 집단별 요인부하량이 다른 지능 프로파일을 탐색했다. 잠재평균을 해석할 때는 부하량과 지표 절편을 같게 두는 strong invariance 가정이 요구된다. 분할이 반영하는 모수 차이는 전역·국소 제약에 따라 달라진다. 나무의 안정성을 해석할 때는 작은 집단과 불균형한 분할, 단계별로 최선의 분할을 선택하는 greedy algorithm의 특성을 고려해야 한다. 이때 bootstrap과 독립 자료를 이용한 평가가 도움이 된다.

논의

HRD와 의학교육에서 피드백 경험과 수행의 관계를 연구할 때도 최초의 경험으로 이후 변화율을 설명할지, 두 과정의 변화를 함께 추정할지에 따라 측정 시점과 지표 구성이 달라진다. clerkship 동안 수행을 반복 측정하고 각 시점에 복수 지표를 확보하면, 장기적인 변화와 해당 시점의 지표들이 공유하는 변동을 구분하는 분석을 설계할 수 있다. 추정된 시점 특수적 분산을 특정 피드백이나 임상 경험과 연결하려면 해당 경험을 측정하고 모형 안에서 관계를 설정해야 한다. SEM Trees의 집단 차이는 기울기, 초기 수준, 분산 가운데 어떤 차이를 허용했는지에 따라 해석이 달라진다.

참고문헌

• Brandmaier, A. M., von Oertzen, T., McArdle, J. J., & Lindenberger, U. (2013). Structural equation model trees. Psychological Methods, 18(1), 71–86. https://doi.org/10.1037/a0030001
• Curran, P. J., Obeidat, K., & Losardo, D. (2010). Twelve frequently asked questions about growth curve modeling. Journal of Cognition and Development, 11(2), 121–136. https://doi.org/10.1080/15248371003699969
• Geiser, C., Keller, B. T., & Lockhart, G. (2013). First- versus second-order latent growth curve models: Some insights from latent state-trait theory. Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 20(3), 479–503. https://doi.org/10.1080/10705511.2013.797832