측정과 구조를 나누어 추정하기: 요인점수와 SAM

잠재변수의 측정에서 관계의 추정으로

동기·기술처럼 직접 관찰하기 어려운 속성은 여러 지표로 측정하고, 다른 변수와의 관계를 추정한다. 구조방정식모형(SEM)은 측정모형과 구조모형을 함께 추정하지만, 요인점수를 먼저 계산해 회귀분석에 사용하는 순차적 접근도 가능하다. 요인점수는 잠재변수를 예측한 값이다. 점수의 분산·공분산이 잠재변수의 분산·공분산과 일치하는지에 따라 구조계수 추정값이 달라진다. 측정과 구조를 나누어 추정할 때는 측정오차를 보정하고, 측정 단계의 불확실성을 후속 분석에 반영한다.

요인점수 회귀의 편향과 가설검정

요인점수 회귀(factor score regression, FSR)의 네 가지 방법을 비교한 논문에서는 점수 계산 방식과 회귀식에서 변수의 역할을 구분해 편향을 설명한다(Devlieger et al., 2016). 같은 요인분석 결과에 부합하는 요인점수 계산법은 무한히 많다. 지표와 잠재변수의 관계가 강하거나 지표가 많으면 factor indeterminacy가 줄어든다. 단순회귀식 η = γξ + ζ에서 어느 변수를 요인점수로 대체하는지, 잠재변수의 척도를 어떻게 설정하는지에 따라 계수의 성질이 달라진다. Regression FSR은 독립변수만 요인점수일 때 비표준화 계수에 편향이 없고, Bartlett FSR은 종속변수만 요인점수일 때 편향이 없다. 독립변수에 regression predictor를, 종속변수에 Bartlett predictor를 사용하는 bias avoiding method는 비표준화 계수의 편향을 피한다. 다만 요인점수와 잠재변수의 표준편차가 달라 표준화 계수에는 편향이 남는다. 변수의 역할을 미리 정해야 하므로, 한 변수가 독립변수와 종속변수 역할을 동시에 수행하는 매개효과 모형에는 적용할 수 없다. Bias correcting method는 요인점수의 분산·공분산에서 잠재변수의 분산·공분산을 복원한다. 모집단 수준에서 비표준화 계수와 표준화 계수의 편향을 모두 제거한다.

교정한 계수의 유의성 검정에는 회귀 자체의 오차에 종속변수와 독립변수의 요인점수 예측오차를 더한 근사 표준오차를 사용했다. 변수 간 관계가 강할수록 독립변수의 예측오차가 표준오차에 미치는 영향이 커진다. 교정한 계수를 이 표준오차로 나눈 통계량이 자유도 n−(p+1)인 t분포를 따른다고 가정한다. n은 표본크기, p는 독립변수 수다. 모의실험에는 잠재 독립변수 3개와 잠재 종속변수 2개를 포함했다. 독립변수 분산은 100, 종속변수 잔차분산은 400, 모든 요인부하량은 1로 설정했다. 측정모형의 결정계수(CD), 회귀계수 γ, 표본크기 n, 문항 수 I를 달리한 216개 조건에서 각각 1000개 자료를 생성해 네 FSR 방법과 SEM을 비교했다. CD가 높을수록 요인점수의 불확정성은 낮아진다. R로 생성한 Study 1의 문항반응은 왜도 0, 첨도 3인 정규분포를 따랐다. Study 2에서는 자유도 3인 t분포와 자유도 1인 χ²분포로 측정오차를 만들었다. 두 비정규 조건에서 문항반응의 평균 왜도와 첨도는 각각 0.001과 약 10.057, 0.693과 4.785였다. SEM은 자료 생성모형과 일치하도록 지정하고 최대우도법으로 추정했다. 평가 항목은 성공 비율, 계수 편향, 효율성, 평균제곱오차(MSE), 표준오차 편향, 제1종 오류율과 검정력이었다.

정규 자료에서는 모든 방법과 조건에서 성공 비율이 0.989 이상이었고, 다섯 방법의 제1종 오류율은 기대값 0.05 부근이었다. Regression FSR과 Bartlett FSR은 비표준화 계수를 과소추정했으며, 표본크기를 늘려도 편향이 줄지 않았다. 문항 수가 늘면 편향이 감소했지만 문항이 10개일 때도 남았다. 표준화 계수는 bias avoiding method에서도 과소추정되었다. Bias correcting method와 SEM은 두 척도 모두에서 편향이 작았으며, 정규 자료에서는 효율성·MSE·검정력도 비슷했다. 표준오차 편향은 SEM에서 가장 작았고, 대체로 표본크기·CD·문항 수가 증가할수록 줄었다. 비정규 자료에서는 첨도가 큰 t분포 조건에서 효율성과 성공 비율이 낮아졌으며, CD=0.3 또는 I=3일 때 SEM의 성공 비율이 낮았다. SEM은 편향과 MSE가 가장 작았고 bias correcting method가 근소한 차이로 뒤를 이었다. 모든 방법의 제1종 오류율은 0.05보다 높아졌으며, bias correcting method에서는 CD=0.30일 때 특히 높았다. 비교한 FSR 중 bias correcting method는 SEM의 적절한 대안으로 평가됐다. 당시 소프트웨어로는 전체 적합도 지수 산출이나 매개모형 및 비재귀적 구조모형 적용에 한계가 있었다. 모든 부하량을 1로 두고 SEM을 정확하게 지정한 설계도 고려해야 한다. CD=0.99에서는 모든 성과지표에서 방법 간 차이가 사라졌다.

측정 블록과 두 단계 추정으로 확장한 SAM

Structural–After–Measurement(SAM)을 정식화한 논문에서는 요인점수 회귀의 보정 문제를 측정모형과 구조모형의 순차 추정으로 확장한다(Rosseel & Loh, 2024). SAM은 측정모수를 먼저 추정해 고정한 뒤 구조모수를 추정하며, 측정모형의 구성 단위를 measurement block으로 명시한다. 연속형 잠재변수와 관측지표를 대상으로 한다. 전체 잠재변수를 하나의 CFA 블록에 넣거나 잠재변수별로 나누거나 일부를 묶을 수 있다. 서로 다른 블록에 속한 지표의 잔차 상관은 0으로 설정한다. 동일성 제약·교차적재·상관된 잔차가 있으면 관련 잠재변수를 함께 묶는다. 이는 한 블록의 오지정이 다른 블록의 추정에 미치는 영향을 제한한다. 단일 요인에 지표가 2개인 블록은 식별되지 않고, 지표가 3개이면 포화모형이 되므로 블록별 적합도는 지표 수와 모형 구성을 함께 고려해 해석해야 한다. 재검토한 기존 예에서도 개별 CFA로 측정모수를 추정해 고정했을 때 회귀계수는 0.878로, 모집단 참값 0.700과 차이가 있었다.

Local SAM은 관측자료의 평균·공분산과 측정모수 추정값으로 잠재변수의 평균·공분산을 구한 뒤 구조모형을 추정한다. 요인적재량 행렬 Λ에 대해 MΛ = I를 만족하는 mapping matrix M을 사용한다. 관측평균에서 지표 절편을 뺀 값에 M을 곱하여 잠재평균을 구한다. 잠재공분산은 관측공분산 S에서 측정오차 공분산 Θ를 뺀 뒤 양쪽에 M과 그 전치행렬을 곱한 M(S−Θ)Mᵀ로 계산한다. M은 ML, GLS, ULS 기준으로 구성할 수 있고, ML 기준의 식은 Bartlett 요인점수 행렬과 같다. 요인점수를 그대로 회귀분석에 넣는 절차와 달리 공분산에서 측정오차를 보정한다. 복원한 요약통계로 재귀모형에는 OLS를, 비재귀모형에는 도구변수를 이용한 2SLS 등을 적용한다. Local SAM은 측정 부분과 구조 부분이 겹치지 않고, Λ가 완전한 열계수를 가지며, 추정한 잠재공분산 행렬이 양의 정부호일 때 적용할 수 있다. Global SAM은 잠재 요약통계나 M을 명시적으로 계산하지 않는다. 전체 SEM에서 측정모수를 고정한 채 ML, GLS, WLS 등으로 구조모수를 추정한다. 지표가 다른 잠재변수에 직접 영향을 주는 모형에도 적용할 수 있다. Local SAM의 적용 조건을 충족하고 두 단계에서 같은 추정법을 사용하면 두 방식의 구조모수 추정 결과는 동일하다.

구조모수의 표준오차에는 첫 단계의 측정모수 추정 불확실성을 반영한다. 논문에서 설명한 lavaan 0.6-9 패키지의 sam() 함수는 local SAM과 global SAM 모두에 동일한 두 단계 표준오차 보정법을 사용한다. 비모수 bootstrap도 대안으로 제시됐다. 적합도는 측정 블록과 포화되지 않은 구조모형에서 각각 평가한다. SAM 추정값을 전체 모형에 대입해 평균과 공분산을 구한 뒤, ML 불일치함수로 기존 적합도 지수의 가상(pseudo) 값도 계산한다. 두 단계에서 ML 이외의 추정법을 사용했을 때도 적용할 수 있다. 정식화한 범위는 단일 집단·단일 수준이지만, 당시 구현은 집단 간 동일성 제약을 포함한 다집단 모형과 무선절편이 있는 2수준 SEM도 지원했다. 결측자료, 범주형 지표, 구조모형의 상호작용항과 이차항은 확장 과제로 제시됐다.

논의

HRD와 의학교육에서 학습동기·자기효능감·역량 사이의 관계를 표준화 계수로 비교할 때는 척도의 측정력과 공분산 보정 방식에 따라 관계의 크기 해석이 달라진다. 측정 블록의 구분은 지표 간 잔차 상관과 교차적재를 허용할 범위도 결정한다. 비정규성과 낮은 CD가 겹친 조건에서는 계수 편향과 제1종 오류율이 서로 다른 양상을 보였다. 편향이 작다는 사실만으로 가설검정의 성능을 판단하기는 어렵다.

참고문헌

• Devlieger, I., Mayer, A., & Rosseel, Y. (2016). Hypothesis testing using factor score regression: A comparison of four methods. Educational and Psychological Measurement, 76(5), 741–770. https://doi.org/10.1177/0013164415607618
• Rosseel, Y., & Loh, W. W. (2024). A structural after measurement approach to structural equation modeling. Psychological Methods, 29(3), 561–588. https://doi.org/10.1037/met0000503